Méthodes de Monte-Carlo

ECTS

SEMESTRE

CM

TD

TP

EI

Travail personnel

6 h

12 h

0 h

0 h

36 h

Langues d'enseignement

Français

Responsable(s)

Mots clefs

Simulation aléatoire ; Méthode de Monte-Carlo ; Réduction de la variance ; Méthodes MCMC

Prérequis

Théorie des probabilités (niveau M1) ; Rudiments de Python

A l’issue du module, les étudiants seront en mesure d'utiliser la simulation aléatoire pour résoudre des problèmes déterministes complexes

   La première partie du cours présente la méthode de Monte-Carlo consistant à évaluer une espérance probabiliste à l'aide de simulations : ainsi, on calcule une quantité déterministe par un procédé aléatoire.

   Cette première partie expliquera comment estimer la quantité d'intérêt ; et aussi, ce qui est non moins essentiel, comment déterminer l'intervalle de confiance associé à l'estimateur obtenu. Il est alors important d'améliorer cet intervalle de confiance : cela est l'objectif des techniques dites de réduction de la variance. Nous présenterons quatre de ces techniques : l'échantillonnage préférentiel, le conditionnement, la variable de contrôle, et le couplage.

   Dans de nombreuses situations, la simulation des variables aléatoires, essentielle à l'application de la méthode de Monte-Carlo, s'avère être un problème plus complexe que la mise en œuvre de la méthode de Monte-Carlo en elle-même : c'est notamment le cas en statistique bayésienne, pour la simulation d'une distribution à postériori en grande dimension. La seconde partie du cours présentera une famille de méthodes, fondées sur les chaines de Markov, permettant de réaliser de telles simulations : les méthodes de chaines de Markov pour Monte-Carlo, ou « méthodes MCMC » (Monte Carlo Markov Chains).

   Nous verrons en particulier l'algorithme de Metropolis-Hastings, très général, et nous présenterons l'échantillonnage de Gibbs, plus rapide mais plus délicat à mettre en œuvre. La fiabilité de ces méthodes de simulation, en particulier la problématique de leur convergence, sera étudiée sous un angle à la fois théorique et pratique.

   Ce module comprendra une large partie de mise en œuvre informatique des concepts étudiés, que nous effectuerons en l'occurrence avec Python.

Niveaux

Description et verbes opérationnels

Connaître 

Savoir calculer l'intervalle de confiance associé à une méthode de Monte-Carlo

Connaitre les principales techniques de réduction de la variance

Connaitre les formules caractérisant les chaines de Markov utilisées dans les méthodes MCMC

Comprendre

Comprendre le principe de la méthode de Monte-Carlo, ses forces et ses limites

Comprendre l'intérêt des méthodes MCMC et le comportement des chaines de Markov impliquées

Appliquer 

Implémenter informatiquement une méthode de Monte-Carlo, une technique de réduction de la variance

Implémenter informatiquement un algorithme de Metropolis-Hastings ou de Gibbs

Analyser 

Choisir une technique de réduction de la variance adaptée au problème considéré

Porter un regard critique sur la convergence d'un estimateur de Monte-Carlo

Choisir une méthode MCMC adaptée au problème considéré

Porter un regard critique sur la convergence d'une méthode MCMC

Synthétiser

Calculer des estimateurs bayésiens pertinents dans un contexte statistique en appliquant une méthode de Monte-Carlo s'appuyant un algorithme MCMC

Évaluer

Contrôle Continu

Examen écrit

Oral / Soutenance

Rapport / Projet